死理性派星人摸象

邓切步

各位听过瞎子摸象的故事吧。好几位瞎子被带去触摸一头大象。摸到象腿的人说：“原来大象长得像一棵树”；摸到象尾的说：“噢，原来大象是一根绳子”；摸到象鼻的人说：“大象跟一条水管很像”；摸到象耳的说：“大象竟然像一把扇子”。故事出自佛经，流传在世界各地，连麻省理工学院里也有一幅“瞎子摸象”的壁画，勉励学生不要过度放大自己知道的事情，以偏概全，错估真相的面貌。

死理性派星人摸象

盲人摸象。图片来源网络。
* {- r: `( i8 ]) t先前提到“相似”其实是在计算“距离”，距离越近的两件事物越相似，距离又可以分成许多方向，不同方向上有各自的方向差距。从这个角度，我们可以重新诠释瞎子摸象这则故事，在新的诠释里，每一位瞎子都是对的。大象分成象腿、象尾、象鼻、象耳朵，还可以再分出象豚、象菲力、象沙朗(肚子越来越饿)，每个部位即是一个方向。奈何瞎子的观察能力有限，只能掌握一个部位(方向)。故事中的每一位瞎子都很精准地分析了他负责的部位(方向)特质，成功举例出差距最小的事物：象腿之于树，象耳之于扇子。瞎子已经尽了他们所能做到的最好的结果，至少他们没人摸着象腿的瞎子说：“嗯，原来大象长得很像郭雪芙”。
因为我们看得见，可以同时观察许多不同的部位(方向)，才会知道大象只有腿像树的树干，但树叶跟象耳朵的差距也太大，气根和鼻子也勾不上边，大象跟树的距离非常远，完全称不上相似。然而，就算得到这么多信息，明眼人有时还是无法精准地说出大象跟什么相似，甚至有时候原本感觉比较相似的两者，换了一种想法，又变得没那么像了。因为，测量“距离”的方法改变了。
外星人眼中的大象想象今天有一台幽浮造访地球，他们想了解地球的生态，在他们眼里，人类跟蚂蚁一样多到不可胜数，显然不是什么重要的生物。地球的统治者，应该理所当然是地表最大的动物吧。看，而且它还有许多人类在服侍，那就这么决定了。
于是外星人从动物园绑架了一头大象。
& \- k" ?; q6 T* p回到外层空间星球，不，以他们的角度是离开外层空间，回到自己的星球，外星人开始分析大象。他们想了解大象跟他们星球中哪一种生物最接近。透过一连串比对，最后剩下两种最相似的生物，姑且以甲与乙为代号，外星人针对A到H八种特质进行分析比较。使用汉明距离(Hamming distance)概念，它们得到以下的结果。
1 M+ L! ~  f1 M: o+ s7 `  f0 i                         
                                                                        A
                                                                        B
) ?6 M5 Y6 D- a, F- U                                                                        C
                                                                        D
7 J* a# s5 Y- u. M                                                                        E
! a6 L- b" o& {( {" o/ ]! {: _- H0 p                                                                        F
                                                                        G
                                                                        H
9 S! |) W# O, J# B                                                                        距离
+ y1 b5 t9 Z6 B! x$ M                                                                甲
) }8 B0 W8 Y- {: Z                                                                        0
                                                                        0
6 B& ~+ n+ w! _# t- _9 ?/ T& {4 s$ q                                                                        0
                                                                        0
                                                                        0
( M6 _! ]9 X- R0 d' X                                                                        0
) b% f0 {. O+ |) a0 t, E! ?: x+ c                                                                        0
                                                                        1
                                                                        1
8 q) I# D7 W4 m                                                                乙
                                                                        0
+ P" r' k" a) b  i6 v( \" x+ V                                                                        0
                                                                        0
, l1 i! r; |, F1 c3 p                                                                        0
! [, d, A# W9 c8 A+ U% \                                                                        1
                                                                        1
1 {- p( t: J% H/ V3 X, X8 V3 }                                                                        1
: b* H6 b* e$ b+ n7 ^0 @                                                                        0
                                                                        3
& a/ F. P) h- l- M                                         相较之下，大象比较像是外星生物甲。不，更正是“来自地球的外星生物比较像甲”。但这时候另一位外星生物学家对这个结果不以为然，他认为应该采用另一种“距离”标准，称为欧式距离(Euclidean distance)。欧式距离信奉肝药的广告台词“人生不是黑白的”，在0与1之间，还有许多数值可以使用。用比较不数学的语言来模拟就是除了“像”跟“不像”之间，还有“颇像”、“不错像”、“差不多像”、“有点像”、“不是很像”、“怎么说呢，大概就是猪哥亮和布莱德彼特的相似程度吧”。语言很难量化，但欧氏几何可以给外星人以下的量化数值。
# ]* A( T6 H; ~/ z1 t) }                         
                                                                        A
8 S: m2 R" P3 J  m! c0 Q                                                                        B
8 D/ y3 E% I, u                                                                        C
                                                                        D
, B, f  \2 q& c                                                                        E
                                                                        F
; _- d1 E# ^5 [. z* b  L                                                                        G
! o) u0 X2 C9 O2 {% q                                                                        H
                                                                        距离
                                                                甲
                                                                        0.4
7 S: [& G( v6 c5 R! g                                                                        0.4
* g$ f% z0 J& Z* C1 ]0 I                                                                        0.4
                                                                        0.4
                                                                        0.4
                                                                        0.4
                                                                        0.4
                                                                        0.9
                                                                        1.4
                                                                乙
                                                                        0.1
7 m  X& B9 v; T                                                                        0.1
                                                                        0.1
$ v9 P! t" I2 Z5 H9 a1 G- a2 \                                                                        0.1
; m+ t) k# Y+ G! o8 w5 Y2 r                                                                        0.6
                                                                        0.6
3 g+ ?* L1 g% z2 L$ O                                                                        0.6
                                                                        0.1
                                                                        1.1
                                         意外的结果出现了，原先甲在H特征上的1是0.9，但乙在E、F、G三组特征上的1却只有0.6。反观，甲在其他原本汉明距离值为0的特征上，以欧式距离来说都高达0.4，但乙那几项汉明距离值为0的特征，换算成欧式距离后，与大象之间依然只有0.1的微小差距。
4 y, {6 {) l. r1 w: l* i, G8 }甲跟大象的欧式距离为根号(0.42×7+0.92×1)=1.4；乙跟大象的欧式距离为根号(0.12×5+0.62×3)=1.1。透过欧式距离来看，乙反而变得比较像了。
咒语般的Mahalanobis distance出现不同结果后，外星生物学家开始争执，挥舞触手殴打对方半透明的脑袋。但最糟糕的状况才正要发生：第三位生物学家质疑，在A到H这几项特征中，并非每一项都是完全独立，有某几项其实息息相关，好比A是眉毛，B是瞳孔，C是睫毛，D是水晶体，如果要认真计较起来，这种相似性都要列入考虑。不然光列个“眉毛不像”、“瞳孔不像”、“睫毛不像”、“水晶体不像”这样四样，一双眼睛的重要性就被考虑四次了，这种不公平的事情只会发生在地球蚂蚁人类的政治当中。
* x( E: O% w" Z3 O& l6 T$ x( |4 F, t于是他们采用了念起来真的有点像外星话的马氏距离(Mahalanobis distance)来，他的式子长的也有点像咒语。
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死理性派星人摸象

其中S是相关矩阵，代表两串数值之间的关系，好比水晶体要是像的话，瞳孔自然也会很像，相关性可能就高达0.8；体型相似，瞳孔不见得会相似，关联性就是0，透过这样的分析会得到另一种相似结果。
* ^9 E* t& `" K3 n. h. k外星生物学家之间争论不休，被晾在一旁的大象看了看，转头对外星生物甲和乙说：
“几千年前我的祖先在地球上也遇过这样的状况，那时候有人说我跟树比较像，有人说我跟扇子比较像…你们不知道什么是树和扇子吗？嗯，用欧式距离说，树就有点像你们星球的…”
  @7 @1 R  a7 ~% ~' a果壳相关小组死理性派

lennyclint

跟摸象比，我还是更喜欢作者写女神……