含有数字8的数究竟占了多大的比例？

hnjames2010

在中国，“八”谐音“发”，成了一个人见人爱的幸运数字。不管是手机号，还是车牌号，谁都想要里面有个数字 8，含有数字 8 的数似乎成了一种不可再生的稀缺资源。死理性派自然而然地想到一个问题：在全体自然数中，含有数字 8 的数占多大的比例？10%？50%？还是90%？现在，就跟着果壳网死理性派进行一番严肃的数学计算吧，相信答案会让你大吃一惊的。
; F8 w$ g6 c+ ~" ^9 [前 n 位数里有多少个含有 8 的数字？如果把 0 算上的话，一位数一共有 10 个，不过含有数字 8 的只有一个，只占总数的 10% 。那么，在两位以内的所有数中，含有数字 8 的数是不是也只占 10% 呢？不是的。从 0 数到 99，一共有 100 个数，但含有 8 的数字有 8, 18, 28, …, 78, 80, 81, 82, …, 88, 89, 98，一共有 19 个。也就是说，两位以内的所有数中，含有数字 8 的数占了 19%。
- a! J) D& z& w' a& @9 K3 ]如果进一步扩大我们考虑的自然数范围，你会发现这个比值会越来越大。计算机显示，在 0 到 9 999 999 999 之间的数中，含有数字 8 的数竟然占到了 65.1%。
0 U7 E2 Q, @7 z5 s, vnn 位以内的数的个数n 位以内含 8 的数的个数n 位以内含 8 的数的个数所占比例110110%21001919%3100027127.1%410000343934.4%51000004095141%6100000046855946.9%710000000521703152.2%81000000005695327957%9100000000061257951161.3%1010000000000651321559965.1%利用计算机程序运算得到的表格：对于不同的 n，n 位以内含 8 的数的个数所占的比例
8 a4 [, \/ Z0 Z* q0 K/ |当 n 趋于无穷大的时候为了得到全体自然数中含 8 的数所占的百分比，我们需要算出，如果上表中的 n 增加到无穷大，表格最右列的那个百分比会变成多少。为此，我们首先需要推导出表格最右列的百分比有什么计算公式。
/ {) J8 W- _& t) V在考虑 n 位以内的所有数时，我们可以在不足 n 位的数的前面添 0 补足。这样一来，每个数都可以看作是恰好由 n 个 0 到 9 之间的数字组成的。显然，所有这样的数一共有 10 n 个，但其中 不含数字 8 的数（也就是只含有数字 0, 1, 2, …, 7, 9 的数）却只有 9 n 个。因此，不含数字 8 的数占了所有数的 9 n / 10 n = (0.9) n ，含有数字 8 的数所占比例也就是 1 - (0.9) n 了。
+ E4 E1 x/ Z$ x! |: a0 a* }, V当 n 趋于无穷大，(0.9) n 将会越来越小，最终变成 0，此时 1 - (0.9) n 也就变成了 1。因此，结论就是：含有数字 8 的数占了全体自然数的 100% ！也就是说，几乎所有数都是含有数字 8 的。

这不是玩笑，含有数字 8 的数真的占了全体自然数的 100%。当样本空间无穷大时，100% 并不等于一定会发生，同理 0% 也并不等于一定不发生。比方说，射箭正中靶心的概率就是 0，因为射中靶中某个特定区域的概率就是这块区域的面积比上整个圆的面积，而由于圆心这一个点的“面积”为 0，因此它比上整个圆的面积仍为 0，也即正中靶心的概率为 0。