大鱼吃小鱼的博弈

caocao123

总有一条更大的鱼Always A Bigger Fish （总有一条更大的鱼）不但是电影情节中的经典桥段，也是各种恶搞的灵感来源——小鱼总是被大鱼吃掉，而大鱼上面总还有更大的鱼。久而久之，聪明的大鱼或许就不会去吃小鱼了，否则按照传统剧情，它身后会出现一条更大的鱼。一个有趣的问题出现了：倘若所有的鱼都是理性的，那会出现怎样的情况呢？
: |7 q7 ~. G3 Y' b! ]# U0 `让我们来考虑一个具体的情形。假设有 100 条鱼，它们从小到大依次编号为 1, 2, …, 100 。我们规定，吃鱼必须要严格按顺序执行。也就是说，大鱼只能吃比自己小一级的鱼，不能越级吃更小的鱼；并且只有等到第 n 条鱼吃了第 n - 1 条鱼之后，第 n + 1 条鱼才能吃第 n 条鱼。第 1 条鱼则啥都不能吃，只有被吃的份儿。我们假设，如果有小鱼吃的话，大鱼肯定不会放过；但是，保全性命的优先级显然更高，在吃小鱼之前，大鱼得先保证自己不会被吃掉才行。假设每条鱼都是无限聪明的（并且它们也都知道这一点，并且它们也都知道它们知道这一点??），那么第 1 条鱼能存活下来吗？
出人意料的答案答案或许有些出人意料：第 1 条鱼还是会被第 2 条鱼吃掉，但在此之后第 2 条鱼却不会遭遇同样的下场。更有趣的是，当鱼的总数不同时，问题的答案也不一样。事实上，当鱼的总数是奇数时，第 1 条鱼将会存活下来；当鱼的总数是偶数时，第 2 条鱼将会吃掉第 1 条鱼，从而鱼的总数将变成奇数，吃鱼事件至此为止。
这究竟是怎么一回事呢？让我们先从一些简单的情况开始分析。当鱼的总数只有 1 条时，这条鱼显然活得自由自在；当鱼的总数上升到 2 条时，第 2 条鱼将会吃掉第 1 条鱼，因为第 2 条鱼是无敌的，它不用担心自己会被吃掉。当鱼的总数上升到 3 条时，第 2 条鱼就不能吃第 1 条鱼了，否则情况将化为 2 条鱼的情形，它将会被第 3 条鱼吃掉。
' O' L! p; E- N% H  a有趣的事情发生在一共有 4 条鱼的时候。此时第 2 条鱼可以大胆地吃掉第 1 条鱼，因为根据前面讨论的情形，它知道第 3 条鱼是不会吃它的；类似地，如果一共有 5 条鱼，第 2 条鱼就不敢吃第 1 条鱼了，否则由总鱼数为 4 的情况可知，第 3 条鱼会毫不犹豫地吃掉它??以此类推，当总鱼数是奇数时，所有的鱼都将会和平相处；当总鱼数是偶数时，第 1 条鱼将会被第 2 条鱼吃掉，情况就化为了鱼的数目为奇数时的稳定状态。

事实上，生活中我们并不能假设所有游戏者都是充分理性的，人们难免产生一些贪婪自私、不计后果的念头。如果每个人都能做到理性决策，和平相处并不难。

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好奇如果有无穷多条鱼，和自然数一样多的话，会怎么样..